进位制

认识进制

• 进制的概念：

  • 维基百科：进位制是一种记数方式，亦称位置记法（positional notation）、进位记数法、位值记数法（place-value notation）、位置数值系统（positional numeral system）；利用这种"记数法"，可以使用有限种"数字符号"来表示所有的数值。
  • 通俗理解：当数字达到某个值时，进一位 (比如从 1 位变成 2 位)。

• 按照进制的概念，来理解一下十进制：

  • 当数字到 9 的时候，用一位已经表示不了了，那么就进一位变成 2 位。
  • 在东北没有什么是一顿烧烤不能解决的，如果有，那就两顿。

• 按照上面的来理解，二进制、八进制、十六进制：

  • 二进制：当数字到 1 的时候，用一位已经表示不了了，那么就进一位。
  • 八进制：当数字到 7 的时候，用一位已经表示不了了，那么就进一位。
  • 十六进制：等等，用一位如何表示十六个数字呢？a(10)、b(11)、c(12) 、d(13) 、e(14) 、f(15)

• 常见进位制及用途

  底/基数	名称	描述
  10	十进制	世界上最常见的算术运算位进制系统，它是 2 和 5 的乘积，用于大多数机械计数器。其十位数字为 "0-9"。
  12	十二进制	因为有多个约数如 2，3，4 和 6 的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如一打即为十二个单位。十二位数字为"0-9"，接着是"A"和"B"。
  20	二十进制	因为有多个约数如 2，4，5 和 10 的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为"0-9"，接着是"A-J"。
  2	二进制	几乎所有的电子计算机内部都使用二进位制，分别为"0"和"1"表示"关"和"开"。用于大多数电子计数器。
  16	十六进制	经常用于计算机领域，2 到 4 次幂。十六位数字为"0-9"，接着是"A-F"。
  8	八进制	偶尔用于计算机领域，2 到 3 次幂。八位数字为"0-7"。
  60	六十进制	起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。六十成为 3,4 和 5 的乘积。今天用作现代圆形坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。
  5	五进制	一般用于计算票数，"T"代表 2，"正"代表 5。正字一笔等于一。

  • 八进位制和十六进位制系统通常用于计算机领域，因为它们可方便当作二进位制的简写。
  • 十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 7816 是二进制 11110002。
  • 八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底数通常是自然数。然而，其它位进制系统也是可能的。黄金比率底数（其底为非整数代数）和负底数（其底为负数）。

人类的十进制

• 学习编程语言，需要了解进制的概念：

  • 我们平时使用的数字都是十进制的，当我写下一个数字的时候，你会默认当做十进制来使用。
  • 从发明数字的开始，人类就使用十进制，原因可能是人类正好十根手指。亚里士多德称人类普遍使用十进制，只不过是绝大多数人生来就有 10 根手指这样一个解剖学事实的结果。
  • 如果人类有八根手指，现在用的可能是八进制。

• 所以说，十进制就是放之四海而皆准的常理吗？

• 并不见得，计算机就认为二进制、八进制、十六进制更符合自己的思维。

计算机中的进制

• 为什么计算机更喜欢二进制呢？

  • 前面我们已经介绍过了为什么计算机更喜欢二进制了；
  • 和其底层的原理有关系；

• 如何表示二进制、八进制、十六进制？

  • 二进制（0b 开头，binary）：其中的数字由 0、1 组成，可以回顾之前学习过的机器语言。
  • 八进制（0o 开头，Octonary）：其中的数字由 0~7 组成。
  • 十六进制（0x 开头，hexadecimal）：其中的数字由 0~9 和字母 a-f 组成（大小写都可以）

• 十进制 or 二进制：

  • 虽然计算机更喜欢二进制，但是编程中我们还是以十进制为主。
  • 因为高级编程语言的目的就是更加接近自然语言，让我们人类更容易理解。

进制之间的转换

• 十进制转其他进制：

  • 整除，取余数。

• 其他进制转十进制：

  • 一般说来，b 进制有 b 个数字，如果 a₃, a₂, a₁, a₀ 是其中四个数字，那么就有 a₃a₂a₁a₀ = a₃ * b³ + a₂ * b² + a₁ * b¹ + a₀ * b⁰。 注意，a₃a₂a₁a₀ 表示一个数字序列，而不是数字的相乘。
  • 比如二进制的 1001 转成十进制：1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2 + 1 = 9
  • 比如八进制的 1234 转成十进制：1 * 8³ + 2 * 8² + 3 * 8 + 4 = 668
  • 比如十六进制的 522 转成十进制：5 * 16² + 2 * 16 + 2 = 1314

• 二进制转八进制：

  • 三位转成一位八进制

• 二进制转十六进制：

  • 四位转成一位十六进制

• 如果 520 情人节忘记了，给大家一个建议，在 522 那天过，因为十六进制的 522，对应的十进制是 1314。